- Analógové alebo digitálne filtre
- Aktívne alebo pasívne filtre
- Filtre založené na zvukovej alebo rádiovej frekvencii
- Filtre založené na výbere frekvencie
- Nízkopriepustný Butterworthov filter prvej objednávky
- Butterworthský dolnopriepustný filter druhého rádu
- Derivácia nízkopriepustného Butterworthovho filtra druhého rádu - Aliter
Elektrické filtre majú veľa aplikácií a sú široko používané v mnohých obvodoch na spracovanie signálu. Používa sa na výber alebo elimináciu signálov zvolenej frekvencie v kompletnom spektre daného vstupu. Filter sa teda používa na umožnenie prechodu signálov zvolenej frekvencie alebo na elimináciu signálov zvolenej frekvencie prechádzajúcich cez ňu.
V súčasnosti je k dispozícii veľa typov filtrov, ktoré sú rôznymi spôsobmi odlíšené. V predchádzajúcich tutoriáloch sme sa zaoberali mnohými filtrami, ale najpopulárnejšia diferenciácia je založená na,
- Analógové alebo digitálne
- Aktívny alebo pasívny
- Audio alebo vysokofrekvenčné
- Výber frekvencie
Analógové alebo digitálne filtre
Vieme, že signály generované prostredím majú analogickú povahu, zatiaľ čo signály spracovávané v digitálnych obvodoch majú digitálnu povahu. Aby sme dosiahli požadovaný výsledok, musíme použiť zodpovedajúce filtre pre analógové a digitálne signály. Takže pri spracovaní analógových signálov musíme používať analógové filtre a pri spracovávaní digitálnych signálov digitálne filtre.
Aktívne alebo pasívne filtre
Filtre sú tiež rozdelené na základe komponentov použitých pri navrhovaní filtrov. Ak je konštrukcia filtra úplne založená na pasívnych komponentoch (ako je odpor, kondenzátor a induktor), potom sa filter nazýva pasívny filter. Na druhej strane, ak pri navrhovaní obvodu používame aktívnu zložku (operačný zosilňovač, zdroj napätia, zdroj prúdu), potom sa filter nazýva aktívny filter.
Populárnejšie sa uprednostňuje aktívny filter pred pasívnym, pretože majú veľa výhod. Niektoré z týchto výhod sú uvedené nižšie:
- Žiadny problém s načítaním: Vieme, že v aktívnom obvode používame operačný zosilňovač, ktorý má veľmi vysokú vstupnú impedanciu a nízku výstupnú impedanciu. V takom prípade, keď pripojíme aktívny filter k obvodu, potom bude prúd odoberaný operačným zosilňovačom veľmi zanedbateľný, pretože má veľmi vysokú vstupnú impedanciu a obvod teda nebude pri pripojení filtra zaťažený.
- Flexibilita nastavenia zosilnenia: V pasívnych filtroch nie je možné zosilnenie alebo zosilnenie signálu, pretože na vykonanie takejto úlohy nebudú k dispozícii žiadne konkrétne komponenty. Na druhej strane v aktívnom filtri máme operačný zosilňovač, ktorý dokáže zabezpečiť vysoký zisk alebo zosilnenie signálu na vstupných signáloch.
- Flexibilita nastavenia frekvencie: Aktívne filtre majú vyššiu flexibilitu pri úprave medznej frekvencie v porovnaní s pasívnymi filtrami.
Filtre založené na zvukovej alebo rádiovej frekvencii
Komponenty použité pri návrhu filtra sa menia v závislosti od použitia filtra alebo od miesta, kde sa používa nastavenie. Napríklad RC filtre sa používajú pre zvukové alebo nízkofrekvenčné aplikácie, zatiaľ čo LC filtre sa používajú pre rádiové alebo vysokofrekvenčné aplikácie.
Filtre založené na výbere frekvencie
Filtre sa tiež delia na základe signálov prechádzajúcich filtrom
Nízkopriepustný filter:
Všetky signály nad zvolenými frekvenciami sa zoslabia. Existujú dva typy - aktívny dolnopriepustný filter a pasívny dolnopriepustný filter. Frekvenčná charakteristika dolnopriepustného filtra je uvedená nižšie. Bodkovaný graf je tu ideálnym grafom dolnopriepustného filtra a čistý graf je skutočnou odozvou praktického obvodu. Stalo sa to preto, lebo lineárna sieť nemôže produkovať diskontinuálny signál. Ako je znázornené na obrázku, potom čo signály dosiahnu medznú frekvenciu fH, dôjde k útlmu a po určitej vyššej frekvencii sa signály blokované vstupom úplne zablokujú.
Hornopriepustný filter:
Všetky signály nad zvolenými frekvenciami sa zobrazia na výstupe a signál pod touto frekvenciou sa zablokuje. Existujú dva typy - aktívny vysokopriepustný filter a pasívny vysokopriepustný filter. Frekvenčná charakteristika hornopriepustného filtra je uvedená nižšie. Bodkovaný graf je tu ideálnym grafom s vysokopriepustným filtrom a čistý graf je skutočnou odozvou praktického obvodu. Stalo sa to preto, lebo lineárna sieť nemôže produkovať diskontinuálny signál. Ako je znázornené na obrázku, kým signály nemajú frekvenciu vyššiu ako medzná frekvencia fL, dôjde k ich útlmu.
Pásmový filter:
V tomto filtri sa môžu na výstupe zobrazovať iba signály zvoleného frekvenčného rozsahu, zatiaľ čo signály akejkoľvek inej frekvencie sa blokujú. Frekvenčná odozva pásmového filtra je uvedená nižšie. Bodkovaný graf je tu ideálnym grafom pásmového filtra a čistý graf je skutočnou odozvou praktického obvodu. Ako je znázornené na obrázku, signály vo frekvenčnom rozsahu od fL do fH môžu prechádzať filtrom, zatiaľ čo signály iných frekvencií zažívajú útlm. Viac informácií o Band Pass filtri sa dozviete tu.
Filter odmietnutia pásma:
Funkcia filtra odmietnutia pásma je presným opakom filtra priepustu pásma. Všetky frekvenčné signály, ktoré majú hodnotu frekvencie vo vybranom pásme poskytnutom na vstupe, sú blokované filtrom, zatiaľ čo na výstupe sa môžu zobrazovať signály akejkoľvek inej frekvencie.
All pass filter:
Cez tento filter môžu prechádzať signály akejkoľvek frekvencie, ibaže dôjde k ich fázovému posunu.
Na základe aplikácie a nákladov môže návrhár zvoliť vhodný filter z rôznych typov.
Ale tu môžete vidieť na výstupných grafoch požadované a skutočné výsledky nie sú úplne rovnaké. Aj keď je táto chyba v mnohých aplikáciách povolená, niekedy potrebujeme presnejší filter, ktorého výstupný graf smeruje viac k ideálnemu filtru. Túto takmer ideálnu odozvu je možné dosiahnuť použitím špeciálnych konštrukčných techník, presných komponentov a vysokorýchlostných operačných zosilňovačov.
Butterworth, Caur a Čebyšev sú jedny z najčastejšie používaných filtrov, ktoré poskytujú takmer ideálnu krivku odozvy. V nich si tu rozoberieme Butterworthov filter, ktorý je z troch najpopulárnejší.
Hlavné vlastnosti filtra Butterworth sú:
- Je to filter založený na RC (rezistor, kondenzátor) a operačnom zosilňovači (operačný zosilňovač)
- Je to aktívny filter, takže v prípade potreby je možné upraviť zosilnenie
- Kľúčovou charakteristikou Butterwortha je, že má ploché priechodné pásmo a ploché dorazové pásmo. Z tohto dôvodu sa zvyčajne nazýva „plochý filter“.
Teraz si pre lepšie pochopenie predstavíme obvodový model dolnopriepustného Butterworthovho filtra.
Nízkopriepustný Butterworthov filter prvej objednávky
Na obrázku je znázornený obvodový model nízkopriepustného filtra masla prvého rádu prvého stupňa.
V okruhu máme:
- Napätie „Vin“ ako signál vstupného napätia, ktorý je analógovej povahy.
- Napätie „Vo“ je výstupné napätie operačného zosilňovača.
- Rezistory „RF“ a „R1“ sú odpory negatívnej spätnej väzby operačného zosilňovača.
- V obvode je prítomná jedna RC sieť (označená červeným štvorcom), takže filter je dolnopriepustný filter prvého rádu
- „RL“ je odpor záťaže pripojený na výstup operačného zosilňovača.
Ak použijeme pravidlo rozdeľovača napätia v bode „V1“, potom môžeme dostať napätie cez kondenzátor ako, V 1 = V v Tu -jXc = 1 / 2ᴫfc
Po dosadení tejto rovnice budeme mať niečo ako nižšie
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Teraz sa operačný zosilňovač používa v konfigurácii negatívnej spätnej väzby a v takom prípade je rovnica výstupného napätia uvedená ako, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Toto je štandardný vzorec a môžete sa podrobnejšie pozrieť do obvodov operačných zosilňovačov.
Ak zadáme rovnicu V1 do Vo, budeme mať, V0 = (1 + R F / R 1)
Po prepísaní tejto rovnice môžeme mať, V 0 / V v = A F / (1 + j (f / f l))
V tejto rovnici
- V 0 / V in = zisk filtra ako funkcia frekvencie
- AF = (1 + R F / R 1) = zisk priepustného pásma filtra
- f = frekvencia vstupného signálu
- f L = 1 / 2ᴫRC = medzná frekvencia filtra. Túto rovnicu môžeme použiť na výber vhodných hodnôt odporu a kondenzátora na výber medznej frekvencie obvodu.
Ak prevedieme vyššie uvedenú rovnicu do polárneho tvaru, ktorý budeme mať,
Túto rovnicu môžeme použiť na pozorovanie zmeny veľkosti zosilnenia so zmenou frekvencie vstupného signálu.
Prípad 1: f <
Takže keď je vstupná frekvencia veľmi menšia ako medzná frekvencia filtra, potom je veľkosť zisku približne rovnaká ako zisk slučky operačného zosilňovača.
Prípad 2: f = f L. Ak sa vstupná frekvencia rovná medznej frekvencii filtra, potom
Takže keď je vstupná frekvencia rovná medznej frekvencii filtra, potom je veľkosť zosilnenia 0,707-násobok zosilnenia slučky operačného zosilňovača.
Case3: f> f L. Ak je vstupná frekvencia vyššia ako medzná frekvencia filtra, potom
Ako je zrejmé z obrazca, zisk filtra bude rovnaký ako zisk operačného zosilňovača, kým frekvencia vstupného signálu nebude nižšia ako medzná frekvencia. Ale akonáhle frekvencia vstupného signálu dosiahne medznú frekvenciu, zisk sa mierne zníži, ako je to vidieť v prípade dvoch. A ako sa frekvencia vstupného signálu ešte zvyšuje, zisk sa postupne znižuje, až kým nedosiahne nulu. Takže dolnopriepustný Butterworthov filter umožňuje, aby sa vstupný signál objavoval na výstupe, kým nie je frekvencia vstupného signálu nižšia ako medzná frekvencia.
Ak sme nakreslili graf frekvenčnej odozvy pre vyššie uvedený obvod, ktorý budeme mať,
Ako je zrejmé z grafu, zosilnenie bude lineárne, kým frekvencia vstupného signálu neprekročí hodnotu medznej frekvencie, a akonáhle sa to stane, zosilnenie značne poklesne, a teda aj hodnota výstupného napätia.
Butterworthský dolnopriepustný filter druhého rádu
Na obrázku je znázornený obvodový model dolnopriepustného filtra Butterworth druhého rádu.
V okruhu máme:
- Napätie „Vin“ ako signál vstupného napätia, ktorý je analógovej povahy.
- Napätie „Vo“ je výstupné napätie operačného zosilňovača.
- Rezistory „RF“ a „R1“ sú odpory negatívnej spätnej väzby operačného zosilňovača.
- V obvode je prítomná dvojitá RC sieť (označená červeným štvorcom), takže filter je dolnopriepustný filter druhého rádu.
- „RL“ je odpor záťaže pripojený na výstup operačného zosilňovača.
Derivácia nízkopriepustného Butterworthského filtra druhého rádu
Filtre druhého rádu sú dôležité, pretože filtre vyššieho rádu sú navrhnuté s ich použitím. Zisk druhého rádu filtru sa nastavuje R1 a RF, pričom medzná frekvencia f H je určený R 2, R 3, C 2 & C 3 hodnoty. Odvodenie medznej frekvencie je dané nasledovne, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Rovnicu zosilnenia napätia pre tento obvod možno nájsť podobným spôsobom ako predtým a táto rovnica je uvedená nižšie,
V tejto rovnici
- V 0 / V in = zisk filtra ako funkcia frekvencie
- A F = (1 + R F / R 1) zisk priepustného pásma filtra
- f = frekvencia vstupného signálu
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = medzná frekvencia filtra. Túto rovnicu môžeme použiť na výber vhodných hodnôt odporu a kondenzátora na výber medznej frekvencie obvodu. Tiež ak zvolíme rovnaký odpor a kondenzátor v RC sieti, potom sa rovnica stane,
Môžeme rovnicu zosilnenia napätia pozorovať zmenu veľkosti zosilnenia so zodpovedajúcou zmenou frekvencie vstupného signálu.
Prípad 1: f <
Takže keď je vstupná frekvencia veľmi menšia ako medzná frekvencia filtra, potom je veľkosť zisku približne rovnaká ako zisk slučky operačného zosilňovača.
Prípad 2: f = f H. Ak sa vstupná frekvencia rovná medznej frekvencii filtra, potom
Takže keď je vstupná frekvencia rovná medznej frekvencii filtra, potom je veľkosť zosilnenia 0,707-násobok zosilnenia slučky operačného zosilňovača.
Case3: f> f H. Ak je vstupná frekvencia skutočne vyššia ako medzná frekvencia filtra, potom
Podobne ako pri filtri prvého rádu bude zosilnenie filtra rovnaké ako zosilnenie operačného zosilňovača, až kým frekvencia vstupného signálu nebude nižšia ako medzná frekvencia. Ale akonáhle frekvencia vstupného signálu dosiahne medznú frekvenciu, zisk sa mierne zníži, ako je to vidieť v prípade dvoch. A ako sa frekvencia vstupného signálu ešte zvyšuje, zisk sa postupne znižuje, až kým nedosiahne nulu. Takže dolnopriepustný Butterworthov filter umožňuje, aby sa vstupný signál objavoval na výstupe, kým nie je frekvencia vstupného signálu nižšia ako medzná frekvencia.
Ak nakreslíme graf frekvenčnej odozvy pre vyššie uvedený obvod, ktorý budeme mať,
Možno by vás zaujímalo , aký je rozdiel medzi filtrom prvého rádu a filtrom druhého rádu ? Odpoveď je v grafe, ak pozorne sledujete, môžete vidieť, že keď frekvencia vstupného signálu prekročí hraničnú frekvenciu, graf dostane prudký pokles a tento pokles je zreteľnejší v druhom poradí v porovnaní s prvým. S týmto strmým sklonom bude filter Butterworth druhého rádu viac naklonený k ideálnemu grafu filtra v porovnaní s filtrom Butterworth jedného rádu.
To je rovnaké pre nízkopriepustný filter Butterworth tretieho rádu, nízkopriepustný filter Forth Order Butterworth atď. Čím vyššie je poradie filtra, tým viac sa graf zisku nakláňa k ideálnemu filtračnému grafu. Ak nakreslíme graf zisku pre filtre Butterworth vyššieho rádu, budeme mať niečo také,
V grafe predstavuje zelená krivka ideálnu krivku filtra a môžete vidieť, ako sa poradie Butterworthovho filtra zvyšuje, jeho graf zisku sa viac prikláňa k ideálnej krivke. Takže vyššia je poradie Butterworth filtrom vybrali viac ideál zisk krivka bude. Z uvedeného vyplýva, že si nemôžete ľahko zvoliť filter vyššieho rádu, pretože presnosť filtra klesá so zvyšovaním poradia. Preto je najlepšie zvoliť poradie filtra pri súčasnom dodržaní požadovanej presnosti.
Derivácia nízkopriepustného Butterworthovho filtra druhého rádu - Aliter
Po uverejnení článku sme dostali e-mail od Keitha Vogela, ktorý je elektrotechnikom na dôchodku. Všimol si široko medializovanú chybu v popise dolnopriepustného filtra druhého rádu a ponúkol svoje vysvetlenie na jej nápravu, ktoré je nasledovné.
Takže poďme pekne po poriadku.
A potom povedzte, že medzná frekvencia -6 dB je opísaná rovnicou:
f c = 1 / (
To však jednoducho nie je pravda! Poďme, aby si mi veril. Vytvorme obvod, kde R1 = R2 = 160 a C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Vzhľadom na rovnicu by sme mali mať frekvenciu -6 dB:
f c = 1 / (
Poďme do toho a simulujme obvod a pozrime sa, kde je bod -6 dB:
Simuluje to na 6,33 kHz, NIE 9 947 kHz; ale simulácia NIE JE NESPRÁVNA!
Pre vašu informáciu, namiesto -6db som použil -6,0206db, pretože 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 je o niečo bližšie číslo ako -6 a aby som získal presnejšiu simulovanú frekvenciu našich rovníc, chcel som použiť niečo trochu bližšie ako iba -6 dB. Ak by som skutočne chcel dosiahnuť frekvenciu načrtnutú rovnicou, musel by som uložiť do vyrovnávacej pamäte medzi 1. a 2. stupňom filtra. Presnejší obvod k našej rovnici by bol:
A tu vidíme, že náš bod -6,0206db simuluje na 9,945kHz, oveľa bližšie k našim vypočítaným 9,947kHZ. Dúfajme, že mi veríte, že došlo k chybe! Poďme si teraz povedať, ako k chybe došlo a prečo je to len zlé inžinierstvo.
Väčšina popisy začne 1 na st poradí low-pass filter s impedanciou takto.
A získate jednoduchú prenosovú funkciu:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Potom povedia, že ak spojíte dva z nich a vytvoríte filter 2. objednávky, získate:
H (s) = H 1 (S) * H 2 (s).
Kde H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Čo po vypočítaní povedie k rovnici fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Tu je chyba, odozva H 1 (s) NIE JE nezávislá od H 2 (s) v obvode, nemôžete povedať H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Impedancia H 2 (s) ovplyvňuje odozvu H 1 (s). A preto tento obvod funguje, pretože operačný zosilňovač izoluje H 2 (s) od H 1 (s)!
Takže teraz budem analyzovať nasledujúci okruh. Zvážte náš pôvodný okruh:
Pre jednoduchosť urobím R1 = R2 a C1 = C2, inak sa matematika naozaj zapojí. Po dokončení by sme však mali byť schopní odvodiť skutočnú prenosovú funkciu a porovnať ju s našimi simuláciami na účely overenia.
Ak hovoríme, že Z 1 = 1 / sC paralelne s (R + 1 / sC), môžeme obvod prekresliť ako:
Vieme, že V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Kde Z 1 môže byť komplexná impedancia. A ak sa vrátime k pôvodnému obvodu, môžeme vidieť Z 1 = 1 / sC paralelne s (R + 1 / sC)
Tiež je vidieť, že Vo / V 1 = 1 / (src + 1), ktorý je H 2 (s). Ale H 1 (s) je oveľa zložitejší, je to Z 1 / (R + Z 1), kde Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); a NIE JE 1 / (sRC + 1)!
Poďme teda teraz prebrúsiť matematiku pre náš obvod; pre špeciálny prípad R1 = R2 a C1 = C2.
Máme:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2 sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
A nakoniec
Vo / V in = * = * = * = * = *
Tu vidíme, že:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3 sRC + 1)…
nie 1 / (src + 1) H 2 (y) = 1 / (src + 1)
A..
Vo / V v = H 1 (S) * H 2 (s) = * = 1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1)
Vieme, že bod -6 dB je (
A vieme, že keď je veľkosť našej prenosovej funkcie na 0,5, sme na frekvencii -6 dB.
Riešime to teda:
-Vo / V in - = -1 / ((sRC) 2 + 3 sRC + 1) - = 0,5
Nech s = jꙍ, máme:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - (((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Ak chcete zistiť veľkosť, vezmite druhú odmocninu druhej mocniny skutočných a imaginárnych výrazov.
sqrt ((((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
štvorce oboch strán:
(((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Rozširuje sa:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Nech x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Využitie kvadratickej rovnice na riešenie pre x
x = (-7 +/- štvorcový (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- štvorcový (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. jedinou skutočnou odpoveďou je +
Pamätaj
x = (ꙍRC) 2
nahradzujúci x
(ꙍRC) 2 = (
Výmena ꙍ za 2
2
f c = (
Škaredo, možno mi neveríš, takže čítaj ďalej… Pre pôvodný okruh, ktorý som ti dal:
f c = (
Ak sa vrátime k pôvodnej simulácii pre tento obvod, videli sme frekvenciu -6 dB pri ~ 6 331 kHz, ktorá zodpovedá presne našim výpočtom!
Simulujte to pre ďalšie hodnoty, uvidíte, že rovnica je správna.
Môžeme vidieť, že keď sa vyrovnávacej pamäte medzi oboma 1 st poradí dolných prepustí môžeme použiť rovnicu
f c = 1 / (
A ak R1 = R2 a C1 = C2, môžeme použiť rovnicu:
f c = 1 /
Ale ak nie je vyrovnávacia pamäť medzi dvoma 1 prvým cieľom filtre našej rovnice (vzhľadom R1 = R2, C1 = C2) sa stane:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Varovanie, neskúšajte povedať:
f c = 0,6365 / (
Pamätajte, že H 2 ovplyvňuje H 1; ale nie naopak, filtre nie sú symetrické, takže tento predpoklad nerobte!
Takže ak sa chystáte zostať pri svojej súčasnej rovnici, odporučil by som obvod, ktorý je podobný tomuto:
