Maxwellove rovnice sú základom elektromagnetickej teórie, ktorá predstavuje súbor štyroch rovníc týkajúcich sa elektrického a magnetického poľa. Namiesto uvedenia matematického znázornenia Maxwellových rovníc sa v tomto článku zameriame na skutočný význam týchto rovníc. Maxwellova prvá a druhá rovnica sa zaoberajú statickými elektrickými poľami, respektíve statickými magnetickými poľami. Maxwellova tretia a štvrtá rovnica sa zaoberajú zmenou magnetického poľa a zmenou elektrického poľa.
Maxwellove rovnice sú:
- Gaussov zákon o elektrine
- Gaussov zákon magnetizmu
- Faradayov zákon indukcie
- Ampérov zákon
1. Gaussov zákon elektriny
Tento zákon stanovuje, že elektrický tok z uzavretého povrchu je úmerný celkovému náboju uzavretému týmto povrchom. Gaussov zákon sa zaoberá statickým elektrickým poľom.
Uvažujme o kladnom bodovom náboji Q. Vieme, že čiary elektrického toku smerujú von od kladného náboja.
Uvažujme o uzavretom povrchu s nábojom Q v ňom uzavretým. Vektor oblasti je vždy vybraný ako Normálny, pretože predstavuje orientáciu povrchu. Uhol, ktorý vytvára vektor elektrického poľa s vektorom oblasti, má byť θ.
Elektrický tok ψ je
Dôvodom výberu bodového súčinu je, že musíme vypočítať, koľko elektrického toku prechádza cez povrch predstavovaný vektorom normálnej oblasti.
Z coulombsovho zákona vieme, že elektrické pole (E) v dôsledku bodového náboja je Q / 4πε 0 r 2.
Ak vezmeme do úvahy sférickú symetriu, integrálna forma Gaussovho zákona je:
Preto je uzavretý elektrický tok Q = Q / ε 0
Tu uzavreté Q predstavuje vektorový súčet všetkých nábojov vo vnútri povrchu. Oblasť obklopujúca náboj môže mať akýkoľvek tvar, ale na uplatnenie Gaussovho zákona musíme zvoliť Gaussov povrch, ktorý je symetrický a má rovnomerné rozloženie náboja. Gaussov povrch môže byť valcový, sférický alebo rovinný.
Na odvodenie jeho diferenciálnej formy musíme použiť vetu o divergencii.
Vyššie uvedená rovnica je diferenciálnej forma Gauss zákona alebo Maxwell rovnice I.
Vo vyššie uvedenej rovnici ρ predstavuje objemovú hustotu náboja. Keď musíme aplikovať Gaussov zákon na povrch s lineárnym nábojom alebo rozložením povrchového náboja, je pohodlnejšie reprezentovať rovnicu s hustotou náboja.
Preto môžeme usúdiť, že divergencia elektrického poľa na uzavretom povrchu dáva množstvo náboja (ρ) v ňom uzavretom. Použitím divergencie na vektorové pole môžeme zistiť, či povrch obklopený vektorovým poľom funguje ako zdroj alebo ako drez.
Uvažujme o kvádri s kladným nábojom, ako je uvedené vyššie. Keď použijeme divergenciu na elektrické pole vychádzajúce z kvádra (kvádra), výsledok matematického výrazu nám hovorí, že uvažovaná skrinka (kváder) slúži ako zdroj vypočítaného elektrického poľa. Ak je výsledok negatívny, hovorí nám to, že skrinka funguje ako drez, tj skrinka v nej obsahuje záporný náboj. Ak je odchýlka nulová, znamená to, že v nej nie je žiadny poplatok.
Z toho by sme mohli odvodiť, že elektrické monopoly existujú.
2. Gaussov zákon magnetizmu
Vieme, že vedenie magnetického toku prúdi zo severného na južný pól externe.
Pretože v dôsledku permanentného magnetu existujú čiary magnetického toku, bude s tým spojená hustota magnetického toku (B). Keď použijeme vetu o divergencii na povrch S1, S2, S3 alebo S4, vidíme, že počet čiar toku prichádzajúcich a odchádzajúcich z vybraného povrchu zostáva rovnaký. Výsledkom vety o divergencii je teda nula. Aj na povrchu S2 a S4 je divergencia nulová, čo znamená, že ani severný, ani južný pól jednotlivo nepôsobia ako zdroj ani neklesajú ako elektrické náboje. Aj keď použijeme divergenciu magnetického poľa (B) v dôsledku drôtu prenášajúceho prúd, ukáže sa to nulové.
Integrálna forma Gaussovho zákona magnetizmu je:
Diferenciálna forma Gaussovho zákona magnetizmu je:
Z toho by sme mohli odvodiť, že magnetické monopoly neexistujú.
3. Faradayov zákon indukcie
Faradayov zákon hovorí, že ak dôjde k zmene magnetického toku (meniacemu sa v závislosti na čase) spájajúcej cievku alebo akýkoľvek vodič, dôjde v cievke k indukcii EMF. Lenz uviedol, že indukovaný EMF bude smerovať tak, že bude proti zmene magnetického toku, ktorý ho spôsobuje.
Na vyššie uvedenej ilustrácii, keď je vodivá doska alebo vodič privedený pod vplyv meniaceho sa magnetického poľa, indukuje sa v ňom cirkulujúci prúd. Prúd je indukovaný v takom smere, že ním vytvorené magnetické pole je proti meniacemu sa magnetu, ktoré ho vytvorilo. Z tejto ilustrácie je zrejmé, že zmena alebo zmena magnetického poľa vytvára cirkulujúce elektrické pole.
Z Faradayovho zákona
emf = - dϕ / dt
My to vieme, ϕ = uzavretý povrch ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrické pole E = V / d
V = ʃ E.dl
Pretože sa elektrické pole mení vzhľadom na povrch (zvlnenie), existuje potenciálny rozdiel V.
Preto integrálna forma Maxwellovej štvrtej rovnice je,
Aplikáciou Stokeho vety
Dôvodom pre uplatnenie Stokeho vety je, že keď urobíme zvlnenie rotujúceho poľa nad uzavretým povrchom, vnútorné zvlnené zložky vektora sa navzájom zrušia a výsledkom bude vyhodnotenie vektorového poľa pozdĺž uzavretej dráhy.
Preto môžeme napísať, že
Diferenciálna forma Maxwellovej rovnice je
Z vyššie uvedeného výrazu je zrejmé, že magnetické pole meniace sa v závislosti na čase vytvára cirkulujúce elektrické pole.
Poznámka: V elektrostatike je zvlnenie elektrického poľa nulové, pretože vychádza radiálne smerom von z náboja a nie je s ním spojená žiadna rotujúca zložka.
4. Ampérov zákon
Ampérov zákon hovorí, že keď elektrický prúd preteká drôtom, vytvára okolo neho magnetické pole. Matematicky líniový integrál magnetického poľa okolo uzavretej slučky dáva celkový prúd v ňom uzavretý.
ʃ B .dl = μ 0 I uzavretý
Pretože sa magnetické pole krúti okolo drôtu, môžeme použiť Stokeovu vetu na Ampérov zákon.
Preto sa stáva rovnica
Môžeme reprezentovať prúd uzavretý z hľadiska prúdovej hustoty J.
B = μ 0 H pomocou tohto vzťahu môžeme výraz zapísať ako
Keď použijeme divergenciu na zvlnenie rotujúceho vektorového poľa, výsledok je nula. Je to tak preto, lebo uzavretý povrch nepôsobí ako zdroj ani neklesá, tj. Počet tokov prichádzajúcich a odchádzajúcich z povrchu je rovnaký. To možno matematicky znázorniť ako,
Uvažujme o obvode, ako je znázornené nižšie.
V obvode je pripojený kondenzátor. Keď použijeme divergenciu v oblasti S1, výsledok ukazuje, že je nenulová. V matematickej notácii
V obvode prúdi prúd, ale v kondenzátore sa náboje prenášajú v dôsledku zmeny elektrického poľa na doskách. Fyzicky teda ním netečie prúd. Maxwell vytvoril tento meniaci sa elektrický tok ako zdvihový prúd (J D). Ale Maxwell vytvoril termín Displacement Current (J D) vzhľadom na symetriu Faradayovho zákona, tj. Ak magnetické pole meniace sa v čase produkuje elektrické pole, potom symetriou vytvára zmena elektrického poľa magnetické pole.
Krivka intenzity magnetického poľa (H) v oblasti S1 je
Integrálnu formu Maxwellovej štvrtej rovnice možno vyjadriť ako:
Diferenciálna forma Maxwellovej štvrtej rovnice je:
Všetky tieto štyri rovnice, buď v integrálnej forme, alebo v diferenciálnej podobe, sa nazývajú Maxwellova rovnica.